Matlab Matrix Operations

Matrix Operations

• 此文档 matrices 为二维数值数组, 包括 scalars 和 vectors

MATLAB 中有两种 Matlab Arithmetic Operations: matrix operations 和 Matlab Array Operations.

Matrix Operations 就是 Linear Algebra 中的矩阵操作, 区别于 Matlab Array Operations 的元素与元素之间的运算.

Operators

基本的双目或单目矩阵数值运算都能通过运算符实现.

Operator	Equivalent Function	Description	Arguments
+	plus	addition	binary, compatible arrays
-	minus	subtraction	binary, compatible arrays
*	mtimes	multiplication	binary, matrices
/	mrdivide	right division	binary, matrices
\	mldivide	left division	binary, matrices
^	mpower	powers	binary, matrices
'	ctranspose	complex conjugate transpose	single, matrices
.'	transpose	non conjugate transpose	single, matrices

说明

• 以上表格中 compatible arrays 指的是运算对象可以是 N-D arrays, 只要满足 Matlab Compatible Array Sizes
• matrices 指的是一般矩阵运算和标量运算
  • 如 A * B 要满足 A 列数与 B 行数相等
  • 或 c * B, A * c 中 c 为 scalar
• 也可以看出, 所有运算对象须为 matrices 的运算对应函数都有 m, 表示为 “矩阵运算”
• 加法 + 和减法 - 对于 matrix operations 和 array operations 没有区别
• 乘法 * 只要有一个运算对象是 scalar, 则相当于 .*
• 右除 B / A 即 ${\mathbf{BA}}^{-1}$
  • 又等价于利用求逆函数 inv: B * inv(A)
  • A 为 scalar 时相当于 ./
  • 特别地, A 可为非方阵, 此时相当于利用广义逆函数 pinv: B * pinv(A)
• 左除 A \ B 即 ${\mathbf{A}}^{-1}B$
  • 又等价于利用求逆函数 inv: inv(A) * B
  • A 为 scalar 时相当于 .\
  • 特别地, A 可为非方阵, 此时相当于利用广义逆函数 pinv: pinv(A) * B
• 幂次 要求至少一个运算对象为 scalar (下用小写字母表示)
  • a ^ B 即 $e^{(\ln a)\mathbf{B}}$
    • 即相当于矩阵指数函数 expm: expm(log(a) * B)
    • ++特别注意++
      • 这里幂次运算符的计算公式是$\mathbf{V}{2}^{\mathbf{D}}{\mathbf{V}}^{-1}$, 其中 $\mathbf{V},\mathbf{D}$ 分别是以 $\mathbf{B}$ 特征向量为列向量的矩阵和特征值为对角线的矩阵, 即 $\mathbf{B}=\mathbf{V}\mathbf{D}{\mathbf{V}}^{-1}$
      • 因此这种算法要求 $\mathbf{B}$ 的特征向量线性无关, 所以 $\mathbf{V}$ 才可逆
      • 而函数 expm 的计算公式就是 ${\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{\mathbf{B}}^k$, 对 $\mathbf{B}$ 无任何要求
      • 因此 ^ 可能与函数 expm 结果不一致, 特别地, ^ 会报错
  • A ^ a 即 ${\lim }_{\mathbb{Q}\ni q\to a}{\mathbf{A}}^q$
  • a ^ b 相当于 a .^ b
• 转置 .' 是唯一有句号 . 但不是 Matlab Array Operations 的矩阵运算符